数学的問い その７

問い.28：数直線が密であることは、任意のN次の無限関数の微分可能性にとってどのような条件でしょうか？ （以下　google bard　より回答） 数直線が密であることは、任意のN次の無限関数の微分可能性にとって 必要条件 です。 N次の無限関数が x 点で微分可能であるためには、その点での導関数が存在する必要があります。導関数は、x の周りの極限として定義されます。 数直線が密でない場合は、x の周りに任意の距離をとって、その距離内に x と異なる値を持つ点が存在します。この場合、導関数の極限は存在しないことになります。 したがって、数直線が密であれば、任意のN次の無限関数の微分可能性の条件を満たすことになります。 ただし、数直線が密であることは 十分条件 ではありません。つまり、数直線が密である場合でも、必ずしも任意のN次の無限関数が微分可能であるとは限りません。 例えば、次の関数は、x が 0 以外の任意の値の点で微分可能ではありません。 f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} この関数は、x が 0 以外の任意の値の点で、導関数が存在します。しかし、x が 0 の点では、導関数は存在しません。 この場合、数直線が密であるにもかかわらず、任意のN次の無限関数の微分可能性の条件を満たしていないことになります。